محض نسبی بودن و بعدهای همولوژیک گرنشتاین

در این رساله برای یک کلاس دلخواه مانند ‎s از ‎r‎- مدول ها، نشان می دهیم که کلاس r- مدول های یکدست ‎s‎- محض پوششی است. فرض کنیم s کلاسی از ‎r- مدول ها و sp‎، ‎si‎ و ‎sf‎ به ترتیب، کلاس r- مدول های تصویری ‎s- محض، کلاس r- مدول های انژکتیو s- محض و کلاس r- مدول های یکدست s- محض باشند. به علاوه، فرض کنیم هر عضو s یکدست s- محض باشد. همانند عملگر مشتق شده ی چپ ‎tor‎ در جبر همولوژیک کلاسیک، بر پایه ی جبر همولوژیک نسبی، عملگر مشتق شده ی چپ ?tor?^sf را معرفی می نماییم. برای یک کلاس دلخواه مانند s از r- مدول های متناهی نمایش پذیر که شامل r ‎است، توصیفی از r- مدول های یکدست s- محض را به صورت زیر ارائه می کنیم: یک r- مدول مانند m‎، یکدست ‎s- محض است اگر و تنها اگر یک مدول با محمل در ‎add(tr(s))‎ باشد. فرض کنیم ‎s کلاسی از ‎r‎- مدول های متناهی نمایش پذیر، شامل r ‎و مجموعه ای مانند‎ s*‎ به عنوان زیرکلاس به گونه ای باشد که برای هر ‎u? s‎، s* ‎u*?‎ را بتوان چنان یافت که u u*?. ثابت می کنیم که کلاس r‎- مدول های انژکتیو s- محض پوشاننده است. همانند عملگر مشتق شده ی راست ext در جبر همولوژیک کلاسیک، بر پایه ی جبر همولوژیک نسبی، از عملگرهای مشتق شده ی راست ?ext?_sp و ?ext?_si استفاده می نماییم. دراین حالت، عملگر ?hom?_r(?,?) با si × sp متعادل راست است. درنتیجه، برای هر دو r‎- مدول m و ‎n‎ و هر 0 n?، خواهیم داشت (m,n) ?ext?_si^n ? (m,n) ?ext?_sp^n. ازاین رو، بعد تصویری ‎s‎- محض جهانی r با بعد انژکتیو s- محض جهانی آن برابر است. ما این پرسش را مطرح می کنیم که آیا می توان کلاسی مانند s از‎r - مدول ها را چنان یافت که همولوژی s- محض به معنایی که وارفیلد معرفی کرده است و همولوژی گرنشتاین بر هم منطبق شوند؟ کلاس r- مدول های تصویری گرنشتاین، کلاس r- مدول های انژکتیو گرنشتاین و کلاس r- مدول های یکدست گرنشتاین را به ترتیب، با ‎gp‎، ‎ giو ‎gf‎ نمایش می دهیم. روی هر حلقه ی جابه جایی مانند ‎r که کلاس ‎ gp‎ پیش پوششی باشد، کلاس r‎‎- مدول های تصویری گرنشتاین و کلاس r‎- مدول های تصویری‎gp ‎- محض بر هم منطبق هستند. نشان می دهیم که وقتی r‎‎ یک حلقه ی نوتری جابه جایی با بعد متناهی باشد، (_ ^?)gi ? ?gp?^? ‎. درنهایت، مفهوم جبر آرتینی گرنشتاین مجازی که بلیجیانیس و ریتن معرفی کرده اند، را تعمیم می دهیم و این مفهوم جدید را به صورت زیر بررسی می کنیم: یک حلقه ی نوتری جابه جایی با بعد متناهی مانند r ‎را گرنشتاین مجازی می نامیم، هرگاه داشته باشیم (_ ^?)gi = ?gp?^?. یک حلقه ی r ‎ گرنشتاین مجازی است اگر و تنها اگر عملگر ?hom?_r(?,?) با gi × gp متعادل راست باشد و اگر و تنها اگر همولوژی گرنشتاین و همولوژی gp‎- محض بر هم منطبق شوند. بر پایه ی جبر همولوژیک نسبی، عملگرهای مشتق شده ی راست ?ext?_gp و ?ext?_gi‎ را در نظر می گیریم. روی یک حلقه ی گرنشتاین مجازی مانند r‎، برای هر r‎- مدول ‎m و هر 0 n?، خواهیم داشت (m,n) ?ext?_gi^n ? (m,n) ?ext?_gp^n. علاوه بر این، از مفهوم ?tor?^sf ‎برای معرفی عملگر مشتق شده ی چپ ?tor?^gf روی یک حلقه ی گرنشتاین مجازی مانند r استفاده می کنیم.